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quarta-feira, 7 de setembro de 2022

Professor escritor Wellington Galindo e sinopse de seu Livro Islamismo: Islamismo Origem Desenvolvimento e pilares

 Uma viagem no século XVII  um trabalho que nos oferece um entendimento das principais religiões monoteístas, e diferenciar a relação entre o entendimento de quem Deus e quem é Allá. 


Estamos vivendo um tempo de muitas informações e narrativas nos mais diversos campos da intelectualidade, a história e as religiões também são conflitantes, nesta obra o leitor se depara com explicações de fácil entendimento sobre a origem do islamismo seu desenvolvimento e seus pilares. Com esta leitura você viajará no tempo e fará a verificação de que em meio as muitas ocorrências no século VII, ocorre também o surgimento do Islamismo, que vai se tornar a segunda maior religião do mundo, as estatísticas mensuram mais de novecentos milhões de adeptos. A análise aqui desenvolvida coloca o leitor numa viagem ao território onde surgiu o islamismo, na Arábia saudita no ano é 630 d.C., e não apenas a viagem mas como também encontrará muitas informações, que diz respeito à  Muhammad (Maomé) que é considerado não apenas fundador  do islamismo , mas o profeta de Alá”, o que será elencado nos  primeiros capítulos faz com que o leitor deseje aprofunda-se no estudo do tema alimentando sua imaginação, é como se provasse uma comida de sabor palatável e desejasse repetir a dose, conhecer a origem do islamismo é uma descoberta de verdades que reúne problemas  de princípios familiares que envolvem  divergência religiosa como também violências sob o manto da espiritualidade, uma importante abordagem é em relação a origem, povos de uma mesma raiz paterna, irmãos de descendência abraamica,  buscando firmar-se em posição majoritária  exercendo lideranças social, política e espiritual a saber (monoteísmo), vamos observar que judeu, cristão e islâmicos tem origem comuns, entretanto com o desenvolvimento do islamismo, situações conflitantes vão aparecendo, tão logo concluímos o primeiro capítulo vamos verificar com detalhes a  história de Muhammad que seu nome se identifica com a história do islamismo, cada página lida  nos ajudará a entender com mais riqueza de detalhes a vida do fundador dessa religião que é a mais jovem das religiões  é já ocupa a segunda posição em seguidores no mundo. Escrever sobre o Islamismo sua origem desenvolvimento e pilares tornou-se para mim um desafio,  onde  as cortinas de Meca se abrem para trazer conhecimento da Arábia, que hoje é a região conhecida como Arábia saudita, esta é a cidade que Muhammad cujo pai, se chamava  Abdullah (servo de Allah), e que foi considerado um homem justo no seu tempo, a família era membros de uma tribo chamada Quraish, sua mãe chamava-se Amina, Muhammed não conheceu o pai, pois este morrera antes de seu nascimento, aos 6 anos de idade ficou órfão da mãe, então seu tio Abu Talib, que era mercador nas rotas comerciais de camelos, resolveu adotá-lo, esse tio que era pobre e que tinha muitos filhos, não pode dar condições melhores a Maomé e assim bem cedo teve de cuidar de si mesmo e passou a adolescência cuidando do rebanho e a viajar com caravanas através da Arábia central. Trabalhava como condutor de camelos e como ajudante de líder das caravanas, no decorrer da leitura será colocado à disposição do leitor algumas informações que lhe trará um novo entendimento sobre os conflitos entre os aspectos religioso Judaico-Cristão e islâmico.

sábado, 16 de julho de 2022

Conheça nosso livro leia a sinopse 

Islamismo: origem Desenvolvimento e Pilares

Autor: Wellington Galindo



Estamos vivendo um tempo de muitas informações e narrativas nos mais diversos campos da intelectualidade, a história e as religiões também são conflitantes, nesta obra o leitor se depara com explicações de fácil entendimento sobre a origem do islamismo seu desenvolvimento e seus pilares. Com esta leitura você viajará no tempo e fará a verificação de que em meio as muitas ocorrências no século VII, ocorre também o surgimento do Islamismo, que vai se tornar a segunda maior religião do mundo, as estatísticas mensuram mais de novecentos milhões de adeptos. A análise aqui desenvolvida coloca o leitor numa viagem ao território onde surgiu o islamismo, na Arábia saudita no ano é 630 d.C., e não apenas a viagem mas como também encontrará muitas informações, que diz respeito à  Muhammad (Maomé) que é considerado não apenas fundador  do islamismo , mas o profeta de Alá”, o que será elencado nos  primeiros capítulos faz com que o leitor deseje aprofunda-se no estudo do tema alimentando sua imaginação, é como se provasse uma comida de sabor palatável e desejasse repetir a dose, conhecer a origem do islamismo é uma descoberta de verdades que reúne problemas  de princípios familiares que envolvem  divergência religiosa como também violências sob o manto da espiritualidade, uma importante abordagem é em relação a origem, povos de uma mesma raiz paterna, irmãos de descendência abraamica,  buscando firmar-se em posição majoritária  exercendo lideranças social, política e espiritual a saber (monoteísmo), vamos observar que judeu, cristão e islâmicos tem origem comuns, entretanto com o desenvolvimento do islamismo, situações conflitantes vão aparecendo, tão logo concluímos o primeiro capítulo vamos verificar com detalhes a  história de Muhammad que seu nome se identifica com a história do islamismo, cada página lida  nos ajudará a entender com mais riqueza de detalhes a vida do fundador dessa religião que é a mais jovem das religiões  é já ocupa a segunda posição em seguidores no mundo. Escrever sobre o Islamismo sua origem desenvolvimento e pilares tornou-se para mim um desafio,  onde  as cortinas de Meca se abrem para trazer conhecimento da Arábia, que hoje é a região conhecida como Arábia saudita, esta é a cidade que Muhammad cujo pai, se chamava  Abdullah (servo de Allah), e que foi considerado um homem justo no seu tempo, a família era membros de uma tribo chamada Quraish, sua mãe chamava-se Amina, Muhammed não conheceu o pai, pois este morrera antes de seu nascimento, aos 6 anos de idade ficou órfão da mãe, então seu tio Abu Talib, que era mercador nas rotas comerciais de camelos, resolveu adotá-lo, esse tio que era pobre e que tinha muitos filhos, não pode dar condições melhores a Maomé e assim bem cedo teve de cuidar de si mesmo e passou a adolescência cuidando do rebanho e a viajar com caravanas através da Arábia central. Trabalhava como condutor de camelos e como ajudante de líder das caravanas, no decorrer da leitura será colocado à disposição do leitor algumas informações que lhe trará um novo entendimento sobre os conflitos entre os aspectos religioso Judaico-Cristão e islâmico.





ISLAMISMO Nossa mais recente Obra



Sinopse do Islamismo: Origem Desenvolvimento e Pilares
Autor: Wellington Galindo





 

domingo, 20 de fevereiro de 2022

 Família, Educação, Ensino e Aprendizagem

No mundo atual vivemos regido pela Modernidade guiados pelo Relativismo  tendo por  parceiro de caminhada o Hedonismo. A base de vivencia comportamental de valores vinculados, primeiro ao Judaísmo, segundo ao  Cristianismo, além de uma influencia romana muito forte, nos permite  pensar um pouco no processo de inversões dos valores em nossos dias, dai sugue o enfrentamento dos que se opões a este hiato entre o que era e o que é, logo os conservadores que esboçam fidelidade, comprometimento, se posicionam contrariamente aos procedimento que tais modelos apresentam, assim colocam em vitrine os blocos base que nos asseguraram o equilíbrio para a vida em sociedade, por isso a importância da Família preservando costumes e valores. 

Ao falar sobre a modernidade, o e suas bases para o hedonismo e relativismo é importante conhecer que  todo isso afeta a evolução do pensamento. Olavo de Carvalho em sua Monumental obra tudo que você precisa saber para não ser idiota, aponta para o brasil onde a modernidade tem afetado a cultura e também a inteligência, em sua analise afirma: "quando todas as decisões estiverem tomadas, quando a massa de seus efeitos tiver sido adensado numa torrente irreversível e a existência entrar decisivamente na sua etapa final de declínio, ai o cidadão pensará em adquirir conhecimento que lhe servira a essa altura, para lhe informar do que deveria ter feito e não fez.

por Wellington Galindo 

  

quarta-feira, 27 de outubro de 2021

 

 
Quando o tema é equação do primeiro logo surgem as dúvidas, as interrogações, o medo e a valha frase não consigo aprender isso, matemática é muito difícil, a quem diga que essa é a disciplina que não deveria existir entretanto ela caminha com nosso em grande parte das atividades da vida, inclusive auxiliando noutras disciplinas quer na área de humanas, saúde e exatas ela a rainha das ciências. hoje vamos acompanhar a introdução do modulo 4 de nosso curso.

segunda-feira, 11 de maio de 2020

PRODUTO CARTESIANO 




Produto Cartesiano Par Ordenado A ordem em que os elementos se apresentam em um conjunto não é levada em consideração.
 Há casos entretanto em que a ordem é importante. Daí a necessidade de se introduzir um novo conceito denominado par ordenado.

 Intuitivamente, um par ordenado consiste de dois elementos, digamos a e b, dos quais, por exemplo a, é designado como primeiro elemento e o outro como segundo elemento. Indicamos um par ordenado desse modo por (a, b).

Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se, e somente se, a = c e b = d.
Observação: Podemos ter pares ordenados da forma (a, a) que não tem nada a ver com
o conjunto {a, a} que é unitário e igual a {a}.

Exemplos:
1) Os pares ordenados (4, 5) e (5, 4) são diferentes.
2) A= {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} é um conjunto de pares ordenados (3, 2) Ï A Produto Cartesiano Sejam A e B dois conjuntos não-vazios. Definimos o produto cartesiano de A por B como sendo o conjunto cujos elementos são todos os pares ordenados (x, y) em que o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B. Indicamos o produto cartesiano de A por B por A ´ B.

Simbolicamente temos A ´ B = {(x, y) ê x Î A e y Î B}. Se A ou B for vazio, definimos o produto cartesiano de A por B como sendo o conjunto vazio, ou seja, A ´ Æ = Æ, Æ ´ B = Æ e Æ ´ Æ = Æ. Exemplos:
1) Se A = {6, 11} e B = {-2, 0, 7}, então A ´ B = {(6, -2), (6, 0), (6, 7), (11, -2), (11, 0), (11, 7)}
2) Se A = {1, 3, 5} e B = {b, c}, então A ´ B = {(1, b), (1, c), (3, b), (3, c), (5, b), (5, c)}
3) Se A = {x Î Å | 2 £ x £ 5} e B = {1, 4}, então A ´ B = {(x, 1), (x, 4) | x Î A}

Observação: Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos, respectivamente, então A ´ B é um conjunto finito com m.n elementos.
Exemplo: Se A = {1, 3} e B = {0, a, b}, então A ´ B = {(1, 0), (1, a), (1, b), (3, 0), (3, a), (3, b)} que tem 6 elementos.
2 Representação gráfica do Produto Cartesiano Tomemos dois eixos ortogonais e sobre o eixo horizontal representemos o conjunto A e sobre o eixo vertical, o conjunto B. Tracemos paralelas aos eixos pelos pontos que representam os elementos de A e de B.

Os pares ordenados serão representados pelas interseções dessas paralelas.
Temos o gráfico de A x B, isto é, sua representação gráfica.
Exemplo: Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}, então a representação gráfica de A x B será como mostrado abaixo: O plano numérico Å2 Os elementos (x, y) Î Å x Å. são os pares ordenados de números reais. Eles surgem com as coordenadas cartesianas de um ponto P do plano p (x = abscissa, y = ordenada) quando se fixa nesse plano um par de eixos ortogonais OX e OY, que se interceptam no ponto O, chamado origem do sistema de eixos cartesianos.
Propriedades do Produto Cartesiano
a) A ´ B ¹ B ´ A (não comutatividade), quando A ¹ B , A ¹ Æ e B ¹ Æ.
b) A ´ (B ´ C) ¹ (A ´ B) ´ C (não associatividade).
c) A ´ (B È C) = (A ´ B) È (A ´ C) distributividade em relação à reunião.
d) A ´ (B Ç C) = (A ´ B) Ç (A ´ C) distributividade em relação à interseção.
Exemplos: Se A = {1, 3}, B = {2} e C = {3, 5},
então A x B = {(1, 2), (3, 2)} e B ´ A = {(2, 1), (2, 3)}. A ´ (B ´ C) = A ´ {(2, 3), (2, 5)} = {(1, (2,3)), (1, (2, 3)), (3, (2, 3)), (3, (2, 5))}
e (A ´ B) ´ C = {(1, 2), (3, 2)} ´ C = {((1,2), 3), ((1,2), 5), ((3, 2), 3), ((3, 2), 5)} O x0 x P = (x0, y0) Y y0 1 2 3 2 1 (1, 2) (2, 2) (3,2) (1, 1) (2, 1) (3,1)
*Os eixos OX e OY dividem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes, caracterizadas pelos sinais das coordenadas dos seus pontos.
1. No primeiro quadrante têm-se x³ 0 e y³ 0;
2. No segundo quadrante tem-se, x£ 0 e y³ 0;
3.No terceiro quadrante tem-se , x£ 0 e y£ 0;
4.No quarto tem-se , x³ 0 e y£ 0. 3

Relações Binárias Definição e Exemplos Dados dois conjuntos A e B,
- chama-se relação binária (ou simplesmente relação) de A em B a todo subconjunto R de A x B. Logo, R é relação de A em B Û R Ì A x B. Logo, se A = B então todo subconjunto de A x A é chamado relação binária em A. O conjunto A é chamado conjunto de partida da relação R e o conjunto B é chamado conjunto de chegada ou contra-domínio da relação R.

Quando o par (x, y) pertence a relação R escrevemos xRy. Então xRy Û (x, y) Î R. Se o par (x, y) Ï R, escrevemos x R y
Exercícios:
(1) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4} e a relação R = {(x, y) Î A x B | x < y}.
Quais são os elementos dessa relação? (1, 2) Î R, isto é, 1 R 2 ?

(2) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, quais são os elementos da relação binária R de A em B assim definida: xRy Û y = x + 2?
Representações gráficas de uma relação Geralmente, representamos graficamente uma relação binária por diagrama cartesiano (conjuntos contínuos) ou por diagrama sagital (conjuntos discretos). Diagrama cartesiano O par ordenado (x, y) Î R é representado pelo ponto do plano cartesiano OXY de coordenadas x e y.
Exemplos: Se a relação R é definida por R= {(x, y) Î IR 2 |x2 + y2 £ 1}, então o diagrama cartesiano desta relação é o disco fechado de centro 0 e raio 3. 4 Um exemplo importante! Seja a relação R definida em R x R por x R y Û y2 = x2. A representação gráfica desta relação é dada pelo gráfico abaixo.
Note, no entanto, que seu gráfico sugere uma outra definição para R. Com efeito, podemos descrever a mesma relação através da proposição ( y = x ) Ú ( y = – x ).
Isto é verdadeiro porque y2 = x2 Û ( y = x ) Ú ( y = – x ). Assim, x R y Û y2 = x2. Diagrama sagitall Constroem-se os diagramas de Venn dos conjuntos A e B, e um elemento x de A é ligado por uma flecha a um elemento y de B se e somente se xRy.
Exemplo: Seja a relação R = {(x, y)|x é divisível por y} em A = {-1, 0, 1, 2}. Represente esta relação graficamente através do diagrama cartesiano e do diagrama sagital. Domínio e Imagem Definição: Seja R uma relação de A em B.
Chama-se domínio de R o conjunto D(R) de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R. Logo, x Î D(R) Û $y, y Î B | (x, y) Î R, isto é, D(R) = {x Î A|($y)( y Î B | (x, y) Î R)}

Definição: Seja R uma relação de A em B. Chama-se imagem de R o conjunto Im(R) de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R. y Î Im(R) Û $x, x Î A | (x, y) Î R, isto é, Im(R) = {y Î B|($x)(x Î A | (x, y) Î R)}
Exemplos:
(1) A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {-2, -1, 0, 1, 2} e R = {(x, y)/x = y2}
(2) A = {x Î Å |1 £ x £ 3}, B = {x Î Å| 1 £ y £ 4} e R = {(x, y)| y = 2x}
(3) A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} e xRy Û x - y é divisível por 2

Observações:
(1) Segue pela própria definição que D(R) Ì A e Im(R) Ì B
(2) Utilizando o diagrama sagital, é fácil perceber que D(R) é o conjunto dos elementos de A dos quais partem flechas e Im(R) é o conjunto dos elementos de B aos quais chegam flechas. (0 2 -1 1 5)

Relação Inversa Dada uma relação binária R de A em B, consideremos o conjunto R -1 = {(y, x) Î B | (x, y) Î R} Como R -1 é o subconjunto de BxA então R -1 é uma relação binária de B em A à qual dá-se o nome de relação inversa de R. Logo, y R-1 xÛ xRy Decorre da definição que R -1 é o conjunto dos pares obtidos a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos de cada par.
Exemplos:
(1) A = {0, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4, 5, 6} e R = {(x, y)/y é múltiplo de x}
(2) A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {-2, -1, 0, 1, 2} e R = {(x, y)/x = y2} (3) A = {x Î IR/1 £ x £ 4}, B = {x Î IR/2 £ y £ 8} e R = {(x, y)/y = 2x}





Propriedades da rellação inversa:
(1) D(R-1 ) = Im(R) y Î D(R-1 ) Û ($x)(x Î A e (y, x) Î R -1 Û ($x)(x Î A e (x, y) Î RÛ y Î Im(R)
(2) Im(R-1 ) = D(R) x Î Im(R-1 ) Û ($y)(y Î B e (y, x) Î R -1 Û ($y)(x Î B e (x, y) Î RÛ x Î D(R)
(3) (R-1 ) -1 = R pois (x, y) Î (R-1 ) -1 Û (y, x) Î R-1 Û (x, y) Î R

IImagem de um conjunto por uma rellação Seja R uma relação de A em B e seja X Ì A.
* Chama-se de imagem de X pela relação R o conjunto de todos os elementos de B para os quais existe x Î X tal que (x, y) Î R. R(X) = {y Î B|($x Î X e (x, y) Î R}. Portanto, R(X) Ì B.
Exemplo: Sejam A = {2, 3, 5, 7, 11, 19, 33}, B = {1, 3, 7, 10, 11, 13, 17}, X = {3, 5, 7}, Y = {2, 3, 11} e a relação R = {(x, y) Î A x B/ x|y} Þ R(X) = {3, 7, 10} e R(Y) = {3, 10, 11}.

IImagem recíproca de um conjunto por uma rellação Seja R uma relação de A em B e seja Y Ì B. Chama-se de imagem de Y pela relação R o conjunto de todos os x de A para os quais existe y Î Y tal que (y, x) Î R-1 ou (x, y) Î R.
Simbolicamente: R-1 (Y) = {x Î A|($y Î Y e (x, y) Î R}. Com isso, R-1 (Y) Ì A.

 * Exemplo: 6 Sejam A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d}, R = {(1, a), (2, b), (3, c), (3, d)} e as partes Y = {b, c, d} e Z = {2c, d}, então temos: R-1 (Y) = {2, 3} e R-1 (Y) = {3} Composição de relações Sejam R de A em B e S de B em C duas relações tais que o conjunto de chegada da primeira está contida no conjunto de partida da segunda.
Então a relação composta S Ro é uma relação de A em C. Isto é, a relação composta de S e R é a relação uma relação de A em C tal que S Ro = {(x, y) Î AxC|($z)(z Î B, (x, z) Î R e (z, y) Î S}  *  * *  *Exemplos:
 (1) Sejam A = {1, 2, 3, 4}, B = {m, n, p, q} e C = {5, 6, 7, 8} e as relações R de A em B e S de B em C tais que R = {(1, m), (1, n), (2, m), (3, q), (4, q)} e S = {(n, 5), (n, 6), (p, 8), (q, 7)} Logo, S Ro = {(1, 5), (1, 6), (3, 7), (4, 7)} Ì AxC

(2) Sejam A = {1, 3, 4}, B = {2, 3, 5} e C = {3, 6, 8, 11} e as relações R de A em B e S de B em C tais que R = {(x, y) Î AxB|x +z > 5} e S = {(z, y) Î BxC| z|y} Logo, S Ro = {(3, 3), (3, 6), (4, 3), (4, 6), (4, 8)} Ì AxC

(3) Determine S Ro e R So tais que R = {(x, y) Î Å 2 |x2 +z2 = 4} e S = {(z, y) Î Å 2 | z + 2y = 1}.
Resultados: Quaisquer que sejam as relações R de A em B, S de B em C e T de C em D, tem-se: 1 1 1 ( ) S R R S - - - o o = (T o SRT ) o = o o ( ) S R Operações com relações Como uma relação é um subconjunto de um produto cartesiano (e, portanto, um conjunto!), devemos observar que todos os resultados válidos em teoria de conjuntos são também válidos para as relações.

Em particular, podemos criar novas relações a partir das operações de união, interseção, diferença de conjuntos.
O conjunto universo, no caso de operações com relações de A em B, é o produto cartesiano A x B; ou seja, duas relações somente podem ser operadas se ambas forem de A em B. Portanto, dadas duas relações de A em B, denominadas R e S temos que RÈS, RÇS e R-S e RC também são relações de A em B. S0R 7
* Exemplo:
Sejam as relações R Í Å x Å, x R y Û x2 + y2 £ 1 e S Í Å x Å, x S y Û x £ y Cujas representações gráficas são:
Então podemos definir as relações, de Å em Å: RÈS Í Å x Å, x RÈS y Û (x2 + y2 £ 1 ) Ú ( x £ y ) RÇS Í Å x Å, x RÇS y Û (x2 + y2 £ 1 ) Ù ( x £ y ) S–R Í Å x Å, x S–R y Û (x2 + y2 > 1 ) Ù ( x £ y ) RC Í Å x Å, x R’ y Û x2 + y2 > 1
Os gráficos das relações definidas pelas operações de união interseção e diferença entre R e S são exibidos abaixo.
Propriedades das Relações em um Conjunto Uma relação R em A pode possuir as propriedades: reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva, entre outras. Propriedade reflexiva Uma relação R em A diz-se reflexiva se (" x)(xÎ A Þ xRx) Caso contrário, isto é, R não é reflexiva se ($x)(xÎ A Þ x R y) *Na representação de uma relação reflexiva por um diagrama sagital existe um laço em torno de cada elemento de A.
Propriedade simétrica 8
Uma relação R em A diz-se simétrica se (" x)( " y)(x, yÎ A e xRy Þ yRx) Portanto, R não é simétrica se($x)($y)(x, yÎ A e xRy e y R x) *
Na representação de uma relação simétrica por um diagrama sagital se existe uma flecha de x para y, então também existe ema flecha de y para x.
*Na representação de uma relação simétrica por um diagrama cartesiano os pontos correspondentes a pares ordenados recíprocos de R são simétricos em relação à reta que contém a bissetriz do primeiro quadrante. Propriedade anti-simétrica Uma relação R em A diz-se anti-simétrica se (" x)( " y)(x, yÎ R e xRy e yRx Þ x = y)
Logo, R não é anti-simétrica se ($x)($y)(x, yÎ A, x ¹ y e xRy e yRx)
*Na representação de uma relação anti-simétrica por um diagrama sagital, entre dois elementos quaisquer x e y (x ¹ y) só pode existir uma flecha ou nenhuma.
*Na representação de uma relação anti-simétrica por um diagrama cartesiano não existem pontos distintos simétricos em relação à reta que contém a bissetriz do primeiro quadrante.

Propriedade transitiva Uma relação R em A diz-se transitiva se " x, y, z Î R com xRy e yRz Þ xRz Com isso, R não é transitiva se ($x)($y)($z)(x, y, zÎ A, xRy e yRz e xR/ z)

*Na representação de uma relação transitiva por um diagrama sagital se existe uma flecha de x para y e uma flecha de y para z então existe uma flecha de x para z.
*Exemplos:
(1) A relação R = {(x, y) Î IN |x|y} é: reflexiva pois x|x " x Î IN anti-simétrica pois se x|y e y|x Þ x = y transitiva pois se x|y e y|z Þ x|z
(2) No conjunto P(E) das partes de E, a relação R em P(E) definida por XRY Û X Ì Y é: reflexiva pois X Ì X " X Î P(E) anti-simétrica pois se X Ì Y e Y Ì X Þ X = Y transitiva pois se X Ì Y e Y c Y e Y Ì Z Þ X Ì Z
(3)A relação R em Å definida por xRy Û x < 2y é transitiva pois se x < 2y e y < 2z Þ x < 2z. (4) A relação R em IN tal que xRy Û x + y = 12 é simétrica pois se x + y = 12 então y + x = 12.

Propriedades das rellações refllexivas
P1) Uma relação R é recíproca Û R -1 é recíproca 9
P2) Se as relações R e S são reflexivas então as relações R ÈS e R Ç S também o são.
P3) Se a relação R é reflexiva e S é qualquer então a relação RÈS também é reflexiva.
P4) Se a relação R é reflexiva então as relações R o R, R o R -1 , R-1 o R são reflexivas.

Propriedades das rellações simétricas
P1) Uma relação R é simétrica Û R = R-1
P2) Uma relação R é simétrica Û R o R -1 = R-1 o R
P3) Se as relações R e S são simétricas então as relações RÈS e R Ç S também o são.
P4) Se a relação R é simétrica então as relações, R o R -1 , R-1 o R são simétricas.

Propriedades das rellações anti-simétricas
P1) Uma relação R é anti-simétrica Û R -1 é anti-simétrica.
P2) Se as relações R e S são reflexivas então a relação R Ç S também é anti-simétrica.

Propriedades das rellações transitivas
P1) Uma relação R é transitiva Û R -1 é transitiva
P2) Se as relações R e S são transitiva então a relação R Ç S também é transitiva.
P3) Uma relação R é transitiva Û R o R Ì R.
P4) Se a relação R é transitiva então a relação R o R também é transitiva.

Relação de Ordem Seja R uma relação sobre um conjunto A Dizemos que R é uma relação de ordem se:
(i) R é reflexiva: " x Î A, xRx
(ii)R é anti-simétrica: " x, y Î R com xRy e yRx Þ x = y
(iii) R é transitiva: " x, y, z Î R com xRy e yRz Þ xRz

*Todo conjunto munido de uma ordem R diz-se ordenado pela ordem R Exemplos e Contra-exemplos:
(1) R = {(x, y) Î ÅxÅ|x £ y} é uma relação de ordem em Å denominada ordem natural.
(2) A relação R = {(x, y) Î IN x IN |x|y} é uma relação de ordem.
(3) A relação no conjunto Z definida por x|y não é uma relação de ordem pois não possui a propriedade anti-simétrica.
Por ex., 5|-5 e -5|5 mas 5 ¹ -5 Ellementos comparáveis Seja R uma relação de ordem em um conjunto não vazio A.


Dois elementos quaisquer x e y de A dizemse comparáveis pela ordem R se e somente se uma das sentenças xRy ou yRx for verdadeira.

10 Exemplo: 3 e 5 são comparáveis pela ordem natural 3 £ 5 em IN mas não são comparáveis pela ordem x|y em IN pois 3 R 5 e 5 R 3. *Observe que dois elementos de um conjunto podem ser comparáveis por uma ordem e não comparáveis por outra.

Ordem Total e Ordem Parcial
Definição: Uma relação de ordem R em um conjunto não-vazio A tal que existe pelo menos um par (x, y) de elementos de A não comparáveis pela R denomina-se relação de ordem parcial R em A ou ordem parcial em A. Isto é, uma ordem parcial em A é uma ordem R em A que satisfaz: ($x)($y)(x, y Î A e x R y e y R x)
Definição: Uma relação de ordem R em um conjunto não-vazio A tal que todos os elementos de A são comparáveis dois a dois pela R chama-se relação de ordem total R em A ou ordem total em A. Isto é, uma ordem total em A é uma ordem R em A que satisfaz: (" x)(" y)(x, y Î A e xRy ou yRx) *Se R é uma ordem total em A diz-se que A é um conjunto totalmente ordenado pela R. Relação de Equivalência Seja R uma relação sobre E. Dizemos que R é uma relação de equivalência se:
(i) R é reflexiva:" a Î E, aRa
(ii)R é simétrica: " a, b Î R com aRb Þ bRa
(iii) Transitiva: " a, b, c Î R com aRb e bRc Þ aRc

* Exemplos:
(1) Seja E = {1, 2, 3}, R = {(x, y)|x = y} e T = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (1, 3), (3, 1), (3, 2)} Então R é uma relação de equivalência mas T não é pois não é simétrica.
(2) A relação R em IN x IN definida por (x, y)R(z, t)Û xt = yz é uma relação de equivalência
(3) A relação R em Õ definida por xRyÛ x2 + x = y2 + y é uma relação de equivalência.
(4) A relação R sobre Õ definida por xRy Û x - y é divisível por 2 é de equivalência. x - y ser divisível por m significa que $ q Î Z tal que x - y = 2q. Logo, xRy Û 2|x - y
Esta relação é uma relação de equivalência denotada por º (mod 2). 5 º 1(mod 2) Û 5 - 1
é divisível por 2 6 º/ 3(mod 2) Û 6 - 1 não é divisível por 2

Observação: ß Seja R uma relação de equivalência em A. Se (x, y) Î R, escreve-se xº y(mod R) ou x~y(mod R) que se lê “x é equivalente a y módulo R. Caso contrário, isto é, se (x, y) Ï R escrevemos xº/ y(mod R). ß Se xº y(mod R) e yº x(mod R) podemos dizer que x e y são equivalentes.

11 Conjunto Quociente:
Seja R uma relação de equivalência definida por “a moeda x tem o mesmo valor que a moeda y” em um universo A de moedas diversas em uma caixa. Tomemos uma caixa dividida em compartimentos. Colocamos em cada um as moedas que tem o mesmo valor, isto é, as moedas equivalente entre si pela relação R. A nova caixa é um conjunto de compartimentos de moedas de mesmo valor. Este novo conjunto, formado a partir de R é constituído por classes de moedas, cada uma delas formada pelas moedas de mesmo valor.
Este conjunto de classes é chamado conjunto-quociente de A pela relação R e representado por A/R. Os elementos de A são as bolas e os elementos de A/R são as classes (compartimentos) que são subconjuntos de A. Isso sugere as seguintes definições:
- Definição:
Dados um conjunto A e uma relação R de equivalência, chama-se classe de equivalência por R um subconjunto de A constituído por um elemento x de A e por todos os elementos y de A tais que yRx, isto é, x = {y Î A | } yRx .
- Definição:
Chama-se conjunto-quociente de A por R ao conjunto das classes de equivalência determinadas por R.
* Observações:
(1) Cada classe de equivalência é um elemento de P(A)
(2) A/R Ì P(A)

Exemplo:
Tomemos em Z os números que divididos por 3 dão resto 0, isto é, são côngruos a zero.
Depois aqueles que divididos por 3 dão resto 1 e os que divididos por 3 dão resto 2. 0 - = {..., -6, -3, 0, 3, 6, ...} 1 - = {..., -5, -2, 1, 4, 7, ...} 2 - = {..., -4, --1, 2, 5,8, ...}
Estes 3 subconjuntos esgotam Õ e como são classes de equivalências, Õ/R = { 0 - , 1 - , 2 - } Se m é um inteiro positivo e R a relação º (mod m) então Õ/R = { 0 - , 1 - , 2 - , ..., m -1} Partição Dado um conjunto A ¹ Æ, chama-se partição P de A a um subconjunto de P(A) tal que:
(i) Se C Î P então C ¹ Æ
(ii) Se C1, C2 Î P, C1 ¹ C2 Þ C1 Ç C2 = Æ
(iii) C C ÎR U = A
Em Õ, considerando A como o conjunto dos números pares e B o conjunto dos números ímpares, então {A, B} é uma partição de Õ.
12 Exemplo:
O conjunto Õ/R = { 0 - , 1 - , 2 - } é uma partição de Õ.

Teorema: Toda relação de equivalência R em A determina uma partição de A. E uma partição de A é sempre determinada por uma relação de equivalência, isto é, qualquer partição em A é um conjunto quociente.

Atividades:
1) Considere a relação R de A em B, onde A, B e R são descritos abaixo.
Escreva R como um conjunto de pares ordenados; Localize R no diagrama coordenado de A ´ B.
a) A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5} e R = {(x, y) Î A ´ B; x < y};
b) A = {2, 3, 4, 5}, B = { 3, 6, 7, 10} e R = {(x, y) Î A ´ B; x | y}

2) Seja R a relação em A = {1, 2, 3, 4, 5} cujo diagrama sagital é dado pela figura abaixo. a) Determinar os elementos de R. b) Determinar os elementos de R-1. c) Construir o diagrama sagital e cartesiano de R-1.

3) Sem R e S relações em IN tais que
R = {(x, y) Î IN 2 | 2x + y = 10} e S = {(x, y) Î IN 2 | 2x + y = 10}
(a) Descreva R e S pela enumeração dos seus elementos.
(b) Determine o domínio e imagem de R e S.
(c) Determine os elementos de das relações inversas de R e S, respectivamente.

4) Determine o domínio e a imagem das seguintes relações em A = {1, 2, 3, 4}

(a) xRy Û x = 2y
(b) xSy Û x = 2
(c) xTy Û x > 2y
(d) xUy Û x + y = 5 5)

Construir os diagramas cartesianos das relações em Å definidas abaixo:
(a) R = {(x, y) Î Å2| x = 4 e y = [-2, 4]}
(b) R = {(x, y) Î Å2| x2 + y2 = 25 e y ³ 0}
(c) R = {(x, y) Î Å2| x Î [-2,4) e y Î (0, 3]}
(d) R = {(x, y) Î Å2| x + 5 = 5 ou 2x – y = 4}
(e) R = {(x, y) Î Å2| |x| ³ 4 e y ³ 3}
(f) R = {(x, y) Î Å2| |x| + y = 3}
(g) R = {(x, y) Î Å2| |x| - 2y < 3}
(h) R = {(x, y) Î Å2| |y| = x - 2}
(i) R = {(x, y) Î Å2| |y| - |x| = 4}
(j) R = {(x, y) Î Å2| x – y £ 3 e x ³ 0} 2 1 3 4 5 1 2

6) Sejam as relações S = {(x, y) Î Å2|y ³ x 2}, T = {(x, y) ÎÅ2|y £ x + 2}, U = {(x,y) Î Å2| x2 + y2 £ 25} e V = {(x, y) Î Å 2| y ³ (4/9) x2}.
(a) Construir os diagramas cartesianos das relações SÇT e UÇV.
(b) Determinar o domínio e a imagem das relações SÇT e UÇV.

7) Determine a relação inversa R-1, o domínio, a imagem e o contra-domínio de R e R-1, nos seguintes casos:
a) R = {(x, y) Î IN ´ IN ; 2x + y = 10};
b) R = {(x, y) Î A ´ B; y = x -1 }, onde A = {0, 1, 2, 5} e B = {-2, -1, 0, 1, 2};
c) R = {(x, y) Î A ´ A; x + y = 4}, onde A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

8) Determine se as seguintes relações R de E em E, onde E = {1, 2, 3}, são reflexivas, simétricas, antissimétricas ou transitivas.

a) R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)};
b) R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)};
c) R = {(1, 2), (3, 2), (2, 2), (2, 3)};
d) R = {(1, 2)}

9) Determine se as seguintes relações R de N em N, descritas pelas sentenças abaixo, são reflexivas, simétricas, anti-simétricas ou transitivas.
a) x + y = 10;
b) x < y;
c) x ³ y;
d) x é divisor de y.

10) Seja R a relação de N em N, definida pela sentença: “(x - y) é divisível por 5”, ou seja, R = {(x, y) Î N ´ N; (x - y) é divisível por 5}. Prove que R é uma relação de equivalência.
11) Sejam as relações: R1 = {(x, y) Î R ´ R; y ³ x2} e R2 = {(x, y) per R ´ R; y £ x + 2}. Observe que R1 e R2 são relações nos números reais.
a) Esboce a relação R1 Ç R2 no dia grama coordenado R ´ R;
b) Ache o domínio e a imagem de R1 Ç R2.

12) Seja A = {a, b, c, d, e, f, g}. Diga se cada uma das seguintes famílias de conjuntos é ou não uma partição de A.
a) {B1 = {a, c, e}, B2 = {b}, B3 = {d, g}};
b) {C1 = {a, e, g}, C2 = {c, d}, C3 = {b, e, f}};
c) {D1 = {a, b, e, g}, D2 = {c}, D3 = {d, f}};
d) {E1 = {a, b, c, d, e, f, g